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En la economía el estudio de los fenómenos discretos y el uso de la derivada pasan a aproximar el cambio producido en una función por un cambio de una unidad en su variable se denomina análisis marginal.

El costo marginal

El costo marginal de producir una unidad más va decreciendo hasta llegar a un punto a partir del cual comienza a crecer nuevamente. Este crecimiento se debe al rendimiento decreciente de la productividad de los distintos factores. Esta curva evoluciona más rápidamente que las dos anteriores, porque ella representa las variaciones del costo total, mientras que las otras son montos que se van dividiendo por la cantidad de unidades producidas.

El costo marginal le indica al empresario la conveniencia o no de seguir aumentando la producción. El crecimiento de este costo está indicando desaprovechamiento de los factores de la producción.

 

El costo total C de producir x artículos, es una función lineal esta dado por C(x) = ax+b donde el termino “ax” es el costo variable mientras que “b” es el costo fijo en general.

C(x) = c es siempre que el costo no sea lineal el incremento en el costo AC esta dado x ac = c(+ax) – c(x). Si ax representa el costo promedio de producir artículos adicionales x cada una estara dado por AC es

AX

 

Decir:  costo marginal  =  d c

Dx

 

El costo marginal no deben confundirse con el costo promedio puesto que el costo promedio esta dado por la siguiente expresión.

 

C(x) = C(x) costo promedio por artículo

x

 

y = f(x) costo total

 

x = unidades de un artículo.

 

costo promedio (costo medio o por unidad)

 

=  f’(x) costo margina.

 

El costo promedio es mínimo cuando el costo medio y el costo marginal son iguales, es decir las curvas del costo marginal y el costo promedio se cortan en su punto mínimo del citado costo promedio.

 

 

Ingreso Medio, Total y Marginal:

 

El ingreso total se obtiene multiplicando el precio unitario por la cantidad de unidades vendidas.

 

El ingreso medio se obtiene dividiendo el ingreso total por la cantidad de unidades vendidas.

 

El ingreso marginal es el incremento producido en el ingreso total al producirse una unidad más.

 

El ingreso de la empresa depende de las ventas que ésta realiza en el mercado y del precio que obtiene por el bien que ofrece. El precio oscilará según la cantidad de demanda existente, pero también según la cantidad de oferta: a medida que crece la oferta en el mercado, desciende el precio.

 

Cantidad Precio unitario Ingreso total Costo total Beneficio
1 200.00 200.00 330 -130.00
2 186.00 372.00 450 -78.00
3 174.00 522.00 550 -28.00
4 162.00 648.00 636 12.00
5 151.60 758.00 716 42.00
6 141.33 847.98 786 61.98
7 132.57 927.99 866 61.99
8 122.25 978.00 956 22.00
9 112.00 1008.00 1066 -58.00
10 102.50 1025.00 1196 -171.00

 

 

Cuando la empresa realiza pocas ventas, no obtiene beneficios porque sus costos superan a los ingresos. A medida que aumenta la cantidad de unidades vendidas, crecen sus beneficios hasta un determinado momento en que decrecen nuevamente. Esto ocurre así porque el precio unitario ha descendido tanto que no permite que los ingresos superen a los costos.

 

Si el costo marginal es inferior al precio, esto significa que el egreso resultante de producir una unidad adicional es inferior al ingreso que se recibe por esa unidad, conviene seguir aumentando la cantidad producida. A la inversa, cuando el costo marginal sobrepasa al precio, esto quiere decir que la última unidad resultó más costosa que el ingreso obtenido por venderla: es necesario disminuir el volumen de producción.

 

Si el costo total medio resulta superior al precio en todo el trayecto de la curva, esto significa que en todos los niveles de producción el costo total sobrepasa al valor de ventas, arrojando beneficios negativos, o sea pérdidas.

 

En este caso, la empresa tiene la alternativa de permanecer en el mercado, con la expectativa futura de disminuir sus costos o de que el precio suba, o bien la de abandonar la actividad.

 

Esta decisión depende fundamentalmente de la posibilidad de minimizar sus pérdidas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Todas las unidades producidas se venden al mismo precio, al precio de mercado. El ingreso total de la empresa es el resultado de multiplicar el precio por el número de unidades producidas y vendidas.

 

El ingreso marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más. Como esta unidad es vendida al precio de mercado, para una empresa en libre competencia el ingreso marginal es igual al precio.

Los ingresos medios son el resultado de dividir los ingresos totales entre el número de unidades producidas; si todas las unidades se han vendido al mismo precio es evidente que el ingreso medio será igual al precio.

 

y = f(x)                       : Función de Demanda.

 

R = xy = x f(x)           : Ingreso total R (o bien I).

 

x = número de unidades de demandas.

 

y = precio por unidad de la cantidad demandada.

 

: Ingreso marginal con respecto a la cantidad demandada.

: Elasticidad de la demanda con respecto al precio.

 

Como:

 

 

 

 

Ingreso Marginal – Costo Marginal

Cuando la empresa estudia la posibilidad de modificar su nivel de producción para mejorar sus utilidades debe tener en cuenta cómo cambia su ingreso como resultado de esa modificación, es decir, cuál será el ingreso adicional que puede recibir por cada unidad adicional producida.

Con este método la empresa compara la cantidad que cada unidad adicional añade al ingreso total y al costo total, si el ingreso de cada unidad adicional es mayor que su costo marginal debe producirla, de lo contrario se reducen los beneficios o se incrementan las pérdidas.

El ingreso marginal total de una IE proviene de la venta de x unidades. Si P es el precio unitario y x es la cantidad de unidades el ingreso total (R(x) esta dado por:

 

R (X) = p.x.

 

–          Ingreso marginal = R’(x) = R(x+1)-R(x): Ingreso obtenido de la venta (x+1) unidades.

–          Utilidad marginal = U’(x) = U(x+1)+U(x): utilidad obtenida de la venta (x+1) unidades.

 

Debemos señalar que la utilidad U(x) de una empresa esta dado por

 

U(x) = R(x)-c(x)

 

El precio P/de un artículo esta en función de la cantidad x donde  P = P(x)

 

En la etapas iniciales de producción, el ingreso marginal suele ser mayor que el costo marginal y es rentable producir dentro de ese rango de producción. En las etapas posteriores, cuando la producción es relativamente alta, los costos marginales pueden aumentar más que los ingresos marginales, por lo que la empresa evita producir en este rango.

Estos dos rangos de producción están limitados por un punto único donde el ingreso marginal es igual al costo marginal y se considera el punto clave para determinar el nivel de producción de la empresa, que generalmente no corresponde a un número entero, caso en el cual debe producir la última unidad cuyo ingreso marginal sea mayor que su costo marginal.

Por lo anterior la regla para buscar la maximización de las utilidades de la empresa tanto perfectamente competitivas, como en las demás estructuras de mercado, cuando trabaja por costos unitarios, utilizando el enfoque marginal es:

“En el corto plazo, la empresa maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas produciendo el nivel de producto en el que el ingreso marginal es igual al costo marginal”

Solo para la empresa de competencia perfecta por ser el precio igual al costo marginal la empresa debe producir en el punto en el que el precio es igual a dicho costo.

Precio de venta de $ 900.000 por unidad: (Cantidades en miles de soles)

CANTIDADES PRODUCIDAS COSTO TOTAL (CFT) INGRESO TOTAL COSTO MARGINAL INGRESO MARGINAL UTILIDAD O PÉRDIDA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2000
2800
3360
3680
3910
4150
4550
5210
5900
6700
7700
0
900
1800
2700
3600
4500
5400
6300
7200
8100
9000
800
560
320
230
240
400
660
690
800
1000
900
900
900
900
900
900
900
900
900
900
-2000
-900
-1560
-980
-310
350
850
1090
1300
1400
1300

 

La empresa maximiza sus beneficios de acuerdo con el enfoque de ingresos totales en nueve unidades, punto en el que su utilidad es de $ 1.400.000, e igualmente analizado por el enfoque de ingreso marginal sobre el costo marginal, se observa que maximiza sus beneficios entre 8 y 9 unidades, punto en el cual el costo marginal iguala el ingreso marginal.

Todas las unidades producidas, hasta la novena incluida, presentan un ingreso marginal mayor que el costo marginal, lo cual significa que aumentan los beneficios de la empresa y se deben producir, pero no se debe producir la décima unidad, porque aumenta mas los costos que los ingresos.

 

Ingreso marginal = al costo marginal.

Ingreso marginal IM

Costo marginal  CM

 

 

En la gráfica en el punto A, el costo marginal y el ingreso marginal se igualan, lo cual implica que las ganancias son máximas.

Así se puede decir que:

  1. Si el ingreso marginal excede al costo marginal, la empresa debe incrementar la producción.
  2. Si el ingreso marginal es menor que el costo marginal, la producción se debe reducir.

Si el ingreso marginal es igual al costo marginal, la empresa está maximizando sus ganancias y no debe cambiar su producción.

 

 

En la competencia perfecta: ingreso marginal (IM) = precio (P), debido a que la empresa es una aceptadora de precios. Por consiguiente, la empresa en competencia perfecta amplía la producción hasta el punto en donde el costo marginal es igual al precio. De la misma manera, el ingreso marginal es igual al ingreso promedio que es el mismo que el de la curva de la demanda.

 

 

EJERCICIOS:

 

1. El costo total de producir y vender x unidades de cierta mercancía esta dado por S/ 1200 + 3.25X-0.0002X2 (por mes) es el nivel de producción es X=1800 unidades (por mes) encuentre el costo promedio de cada uno y el costo marginal.

 

C(x) = 1200+3.25X-0.0002X2(por mes)

X = 1,800 unidades

C(x) = ¿

 

C(x) = 1200+3.25x-0.0002X2

X

 

C(x) = 1200 + 3.25  –  0.0002X

X

 

C(x) = 1200 + 3.25  –  0.0002 (1800)

/ X=1800 1800

 

C(x) = 3.56 

/ X=1800

 

Hallando el Costo Marginal

 

C’(x) = C(X+1)-C(X)

 

C’(x) = 3.25-0.0004X

 

C’(1800) = 3.25-0.0004 (1800) = 2.53

 

... C(X) = 3.56 significa que cuesta 3.56 soles por unidad al producir 1800 unidades

 

Costo Marginal C’(1800) = 2.53

 

Significa que cuesta 3.56 soles por mercancía adicional después de 1800 unidades

 

 

2. El costo total / Un fabricante para producir por unidades es C(X)=(1/5)(X2) + 4X + 57 y el precio está dado por P(X)=¼ (-X+36)

 

a)                  Determine el costo y el ingreso marginal

b)                 Mediante el costo marginal calcule el costo / producir la 4ta unidad

c)                  Encuentre el costo real / producir 4ta unidad

d)                 Mediante el ingreso marginal calcule el ingreso obtenido / la venta / la 4ta unidad

e)                  Determine el ingreso real obtenido / la venta / la 4ta unidad

Solución:

 

a)      C(X)=(1/5)(X2) + 4X + 57

 

C’(X)   =    1 (2x) + 4 = 2 x + 4 (costo marginal)

5                  5

 

Ingreso total está dado por:

 

R(X)    =    XP(X)

 

=    X(¼ (-X+36X))

 

R(X)    =    ¼ (-X2 + 36X)

 

R’(X)   =    ¼ (-2X + 36)

 

R’(X)   =    -¼X + 9 (Ingreso marginal)

 

 

b)      Para hallar el costo / producir la 4ta unidad, el nivel de producción X=3

 

C’(X)   =    2 X + 4

5

 

C’(3)    =    2 (3) + 4 = 5.2

5

 

c)      El costo real / producir la 4ta unidad en:

 

C(4)     =    C(3)          =

 

C(4)     =    1 (4)2 + 4(4) = 57 = 76.2

5

 

C(3)     =    1 (3)2 + 4(3) = 57 = 70.8

5

 

C(4)-C(3)    =   76.2 – 70.8 = 5.4

 

d)     El ingreso marginal obtenido / la venta / la 4ta unidad (X=3)

 

R’(X)   =    – 1X + 9

2

 

R’(3)    =    –1(3) + 9 = 7.5

2

 

e)      Ingreso real obtenido / la venta / la 4ta unidad         R(4) – R(3) = ?

 

R(4)     =    1 (-(4)2 + 36(4)     = 32

4

 

R(3)     =    1 (-(3)2 + 36(3)     = 24.75

4

 

R(4) – R(3)     =          32 – 24.75 = 7.25

 

Costo total, Costo promedio y Costo marginal.

 

 

Problemas

 

  1. Para una de las siguientes funciones de costo promedio, obtenga el valor mínimo del costo promedio mínimo, y demuestre que dicho promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales.

 

a)

 

Solución:

 

Como

 

costo marginal el valor mínimo del costo promedio mínimo es cuando:

 

 

 

b)

 

Solución:

 

 

 

 

 

 

  1. Para cada una de las siguientes funciones de costo total evalúe el costo marginal, y determine el comportamiento del costo marginal (si es creciente o decreciente).

a)      y = 1000x – 180x2 + 3x3

b)      y = 220 + 55x – 2x3 + x4

 

Solución:

a)  = 1000 – 360x + 9x2 costo marginal.

= 1000 – 360x + 9x2 Þ   = .

El costo marginal es decreciente para x < 20 y creciente para x > 20.

 

b)  = 55 – 6x2 + 4x3 costo marginal.

 

  1. La empresa denominada fábrica de máquinas herramientas de precisión tiene una función de costo total representada por la ecuación y = 2x3 – 3x2 -12x, en donde “y” representa el costo total, y x,  la cantidad producida.

 

a) ¿Qué ecuación representa la función de costo marginal?

C.M.  = 6x2 -6x – 12 costo marginal.

 

b) ¿Cuál es la ecuación de la función de costo promedio?

¿En qué punto éste costo promedio alcanza su valor mínimo?

 

Función de costo promedio.

Para obtener su valor mínimo.

2x2 – 3x – 12 =  6x2 – 6x – 12

Þ  4x2 – 3x = 0  x = ¾

En donde x = ¾ alcanza su punto mínimo.

 

c) ¿Es el anterior un conjunto de ecuaciones que podría esperarse encontrar realmente en la práctica? ¿Por qué?

 

No, por que  C.T. no está en el 1er.  cuadrante.

 

  1. Si la fórmula general para la función de costo total es:

C.T. = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

a) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de costo marginal?

C.M. = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c

Función de costo marginal.

 

b) ¿Qué ecuación corresponde a la función de costo promedio?

 

Función de costo promedio.

 

 

 

 

Ingreso Total, Ingreso Marginal y Elasticidad de la Demanda.

 

 

Problemas.

 

  1. Cuando los ingresos de una cierta persona eran de $ 300 al mes, compraba 20 litros de leche en dicho lapso.

Cuando su percepción monetaria aumentó a $ 350, pudo comprar 24 litros de leche mensualmente. Suponiendo que no hubo cambio en el precio de la leche o algún otro factor relevante. ¿Cuál fue la elasticidad de la demanda de leche con respecto a los ingresos de dicha persona?.

 

Solución:

 

Nos pide la elasticidad de la demanda.

 

 

 

 

  1. Cuando el precio de un artículo de a era de $ 5….., se vendía 100 unidades de otro producto B.

Cuan do el precio de A disminuyó a $ 4….., se vendieron 120 unidades de B. ¿Cuál es la elasticidad cruzada de la demanda para B en términos del precio de A?

 

Solución:

 

 

 

  1. ¿Cuál es la relación entre la pendiente (positiva o negativa) de la curva del costo promedio y la elasticidad del costo total, respecto de la cantidad producida?.

 

 

Solución:

 

CP = costo promedio.

 

Ect = elasticidad del costo total.

 

Cuando CP < 0  entonces,  Ect < 1

Cuando CP = 0  entonces,  Ect = 1

Cuando CP > 0  entonces,  Ect > 1

 

 

  1. Demuestre algebraicamente que la elasticidad del costo total es igual a entonces,  Ect = .

En donde CM es el costo marginal y CP es el costo promedio.

 

Solución:

 

 

 

  1. Para cada una de las funciones de la demanda siguiente demuestre que la relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda está dada por la ecuación:

 

 

Solución:

 

 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

 

 

  1. Si la ecuación de la demanda para cierta mercadería es 3x + 4p = 12. Encontrar.
    1. La función del precio.
    2. La función del ingreso total.
    3. La función del ingreso marginal.

 

Desarrollo:

 

  1. 3x + 4p = 12  ®  P = 3  .
  2. El ingreso total =
  3. El ingreso marginal :

 

 

 

 

  1. La ecuación de la demanda para cierta mercadería es: Px2 +  9p – 18 = 0, donde p = dólares, es el precio por unidad cuando 100x unidades son solicitadas.
    1. La función del precio.
    2. La función del ingreso total.
    3. La función del ingreso marginal.
    4. Encontrar el ingreso total máximo absoluto.

 

Desarrollo.

 

  1. Px2 +  9p – 18 = 0 ® P(x2 +  9) = 18 ®
  2. Ingreso total = 100x = .
  3. Ingreso marginal:

 

 

  1. Ingreso total  = 0 =  9 – x2 →  x = 3

 

 

  1. Sea R(x) dólares el ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de mercancía y R(x) = 2+3, donde x está en el intervalo cerrado . Encontrar:
    1. La ecuación de la demanda.
    2. La función del precio.
    3. La función del ingreso marginal.

 

Desarrollo:

I (x)  =  2 + 3

 

  1. x.P = 2 + 3.
  2. .
  3. Ingreso marginal:

 

 

 

 

  1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es: P = (x – 8)2 y la función del costo total está dada por C(x) = 18x – x2, donde C(x) dólares es el costo total cuando se compran x unidades.
    1. Determinar los valores permisibles de x.
    2. Encontrar  las funciones del ingreso marginal y costo margina.
    3. Encontrar el valor de x que rinde la máxima utilidad.

 

Solución:

 

P = (x – 8)2,  C(x) = 18x – x2.

 

a.

 

b. I t = x.P = x(x – 8)2

I t = (x – 8) (3x-8)

C´(x) = 18 – 12x.

 

c. S(x) = I (x) – C(x)

S´(x) = I´ (x) – C´(x)  →  S´(x) = 0

I´ (x) – C´(x) ……… (a)

Como:       I´ (x) = 3x2 – 32x + 64

C´(x) = 18 – 2x

 

En (a)  3x2 – 32x + 64 = 18 – 2x  →  x = 1.89

x = 8.11   no está dominio x.